引入

英语的题目里常常能见到这么一种叫做“选词填空”的题型，这种题目要求学生将给定的10个单词填入所给短文中的10个空，而且需要进行相应的词性变换。

小明是一个英语不太好的学生，每次遇到这种题，他都会将所给的10个词随便地填入10个空中。那么，这就出现了一个数学问题：

在不考虑词性变换的情况下，将10个备选词填入10个空。设答对题数为$X$，求$X$的分布列和数学期望。

解决问题

由于“选词填空”这种题型只提供了10个词和10个空，所以可以知道 $X \in \Z, X \in [0,10], X \ne 9$

那么答案就总共有 $A_{10}^{10}=3628800$ 种情况。

全部答对

我们可以先讨论最简单的情况：全部答对。

由于标准答案只有一种可能，可得

$$P(X=10)=\frac{1}{A_{10}^{10}}=\frac{1}{3628800} \approx 0.0000003$$

错位排列问题

为了研究 $X \ne 10$ 的情况，我们需要先引入错位排列问题。

假设我们有 $n$ 封信件，每个信件都有其对应的一个信封，如果我们在装信封的时候把每一个信件都装错，有几种可能？

这个问题的解法总共分两步：

1. 将第 $n$ 封信装进其他信封，共有 $n-1$ 种装法。假设我们将第 $n$ 封信装进了第 $k$ 个信封。($k \ne n$)

2. 将第 $k$ 封信装进其他信封，此时有两种情况： 一、将第 $k$ 封信装进第 $n$ 个信封，那么此时可看作是对剩余的 $n-2$ 封信进行错位排列； 二、将第 $k$ 封信装入除第 $n$ 个信封之外的其他信封，那么此时可看作第 $k$ 封信对应第 $n$ 个信封，对这 $n-1$ 封信进行错位排列（因为前提已经说明，此时第 $k$ 封信不可能装入第 $n$ 个信封）。

设这 $n$ 封信件共有 $D_n$ 种错位排列的放法，于是，我们可以得出下面的递推式

$$D_n=(n-1)(D_{n-2}+D_{n-1})$$

通过简单列举法，我们可以得出 $D_2=1$，$D_3=2$，那么，我们就可以通过递推式算出其他 $D_n$ 的值了：

其他情况

接下来，我们就可以研究 $X \ne 10$ 的其他情况了。不妨先从 $X=0$ 入手。

当 $X=0$ 时，这个问题就可以简化为10个单词的错位排列问题。那么根据上面所推出的递推式，我们可以得出

$$D_{10}=(10-1)(D_{8}+D_{9})=9*(14833+133496)=1334961$$

因此，可得

$$P(X=0)=\frac{D_{10}}{A_{10}^{10}}=\frac{1334961}{3628800} \approx 0.3678795$$

当 $X=1$ 时，可看作是对除了填对的那一空单词以外，其他单词的错位排列问题。那么我们可以得出

$$P(X=1)=\frac{C_{10}^{1} D_{9}}{A_{10}^{10}}=\frac{1334960}{3628800} \approx 0.3678792$$

以此类推

$$P(X=2)=\frac{C_{10}^{2} D_{8}}{A_{10}^{10}} \approx 0.1839410$$ $$P(X=3)=\frac{C_{10}^{3} D_{7}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0613095$$ $$P(X=4)=\frac{C_{10}^{4} D_{6}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0153356$$ $$P(X=5)=\frac{C_{10}^{5} D_{5}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0030556$$ $$P(X=6)=\frac{C_{10}^{6} D_{4}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0005208$$ $$P(X=7)=\frac{C_{10}^{7} D_{3}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0000661$$ $$P(X=8)=\frac{C_{10}^{8} D_{2}}{A_{10}^{10}} \approx 0.0000124$$

计算结果

综上，可得 $X$ 的分布列：

那么，再根据分布列，可算出 $X$ 的数学期望

$$E(X)=\sum_{i=0}^{8} (i*P(X=i)) + 10*P(X=10)=1$$

结语

看得出来，如果小明做选词填空的时候是完全随机乱填的，那么他大概率会错一大堆。