证明海伦公式

By NriotHrreion2023-02-04#数学

很早就想尝试了, 今天就来挑战一下吧!

什么是海伦公式?

设平面内有一个三角形ABC, 其三边边长分别为a、b、c, 则该三角形的面积可以由下面的公式求得:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

其中, p为三角形周长的一半, 即

p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}

证明

设平面内有一个三角形ABC, 其三边边长分别为AB=a、BC=b、AC=c

作AD⊥BC, 设AD=h, CD=x

由勾股定理, 得

c2−x2=h2c^2-x^2=h^2

BD=a2−h2BD=\sqrt{a^2-h^2}

因为

b−BD=CD=xb-BD=CD=x

所以

x=b−a2−h2x=b-\sqrt{a^2-h^2}

b−x=a2−h2b-x=\sqrt{a^2-h^2}

b2−2bx+x2=a2−h2b^2-2bx+x^2=a^2-h^2

得

h2=a2−b2+2bx−x2h^2=a^2-b^2+2bx-x^2

又因为

h2=c2−x2h^2=c^2-x^2

所以

a2−b2+2bx−x2=c2−x2a^2-b^2+2bx-x^2=c^2-x^2

a2−b2+2bx=c2a^2-b^2+2bx=c^2

2bx=c2−a2+b22bx=c^2-a^2+b^2

得

x=c2−a2+b22bx=\frac{c^2-a^2+b^2}{2b}

将其代入 h2=c2−x2h^2=c^2-x^2 中, 得

h=c2−(c2−a2+b22b)2h=\sqrt{c^2-(\frac{c^2-a^2+b^2}{2b})^2}

接着, 由三角形面积公式, 得

S=12bc2−(c2−a2+b22b)2S=\frac{1}{2}b\sqrt{c^2-(\frac{c^2-a^2+b^2}{2b})^2}

化简:

S=b24(c+c2−a2+b22b)(c−c2−a2+b22b)S=\sqrt{\frac{b^2}{4}(c+\frac{c^2-a^2+b^2}{2b})(c-\frac{c^2-a^2+b^2}{2b})}

=b24(2cb+c2−a2+b22b)(2cb−c2+a2−b22b)=\sqrt{\frac{b^2}{4}(\frac{2cb+c^2-a^2+b^2}{2b})(\frac{2cb-c^2+a^2-b^2}{2b})}

=b24[(b+c)2−a22b][a2−(b−c)22b]=\sqrt{\frac{b^2}{4}[\frac{(b+c)^2-a^2}{2b}][\frac{a^2-(b-c)^2}{2b}]}

=14×(b+c+a)(b+c−a)2×(a+b−c)(a−b+c)2=\sqrt{\frac{1}{4}\times\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2}\times\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2}}

=a+b+c2×b+c−a2×a+b−c2×a−b+c2=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{b+c-a}{2}\times\frac{a+b-c}{2}\times\frac{a-b+c}{2}}

=a+b+c2×a+b+c−2a2×a+b+c−2c2×a+b+c−2b2=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{a+b+c-2a}{2}\times\frac{a+b+c-2c}{2}\times\frac{a+b+c-2b}{2}}

=a+b+c2×(a+b+c2−a)(a+b+c2−c)(a+b+c2−b)=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-c)(\frac{a+b+c}{2}-b)}

即

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

其中

p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}

证毕.