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证明皮克定理

By NriotHrreion2024-10-12
#数学

引入

如图所示，图中有一个复杂的多边形，它存在于一个网格中，假设网格每一个的边长都是1，那么，这个多边形的面积SS是多少呢？

看到这个问题，你可能会优先采用小学老师教过的“大面积减小面积”的方法，但这种方法计算起来比较慢。那么，是否有公式可以直接求解它的面积呢？这看似不可能的公式还真的存在，它就是皮克定理。

皮克定理

对于如上图所示的这样的多边形，它的面积符合如下公式：

S=I+O2−1S=I+\frac{O}{2}-1

  • II是多边形内部所包含的格点总数
  • OO是多边形的边所经过的格点总数

以上图的多边形为例，套用公式即可得出面积

S=45+242−1=56S=45+\frac{24}{2}-1=56

那么接下来，我们尝试简单证明一下这个公式。

证明

我们不妨先从最简单的情况入手，即求解网格中长方形的面积。

一个简单的长方形一个简单的长方形

由于网格的固有性质，我们可以知道长方形的周长与多边形的边所经过的格点总数OO是相等的。设长方形的长与宽分别为aa、bb，可得

O=2∗(a+b)O=2*(a+b)

移项，可得

a+b=O2 \begin{equation} a+b=\frac{O}{2} \end{equation}

接着，我们可以知道，多边形内部所包含的格点总数II可以用aa、bb来表示，即

(a−1)(b−1)=I(a-1)(b-1)=I

化简，得

ab−(a+b)+1=Iab-(a+b)+1=I

由S=abS=ab，可得

S=I+(a+b)−1S=I+(a+b)-1

将(1)(1)式代入，即可得出公式

S=I+O2−1S=I+\frac{O}{2}-1

那么现在我们就证明了长方形情况下的皮克定理，但皮克定理可用于网格中的任意多边形，所以我们还需要推广这个公式。我们知道，将这样的长方形在网格中进行切割、拼接操作即可获得复杂的多边形，所以我们也可以以此来推广我们刚刚证明出来的公式。

切割时分为多种情况，我们一一分类讨论。

切割线不经过或包括多边形内部的格点

示例：切割后的多边形示例：切割后的多边形

若切割时切割线不经过或包括多边形内部的格点，那么切割出来的这个三角形必有一边的边长为1。

  1. 当我们把长度为1的边拼接在切割后的多边形上，则不会改变II和OO的大小

示例：拼接后的多边形示例：拼接后的多边形

设拼接后多边形的边所经过的格点总数为O′O'，则有

O′=O+2−2=OO'=O+2-2=O

故此时的OO不变。又因为切割线不经过或包括多边形内部的格点，所以II也不变。

所以，此时拼接后的图形的面积仍为

S=I+O2−1S=I+\frac{O}{2}-1

  1. 当我们把长度不为1的另一条边拼接在切割后的多边形上，则II和OO大小改变，但面积不变

示例：拼接后的多边形示例：拼接后的多边形

设拼接后多边形内部所包含的格点总数及其变化量分别为I′I'、ΔI\Delta I，拼接后多边形的边所经过的格点总数为O′O'，拼接后的面积为S′S'，则有

I′=I+ΔI \begin{equation} I'=I+\Delta I \end{equation}

假设皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立，则有

S′=I′+O′2−1S'=I'+\frac{O'}{2}-1

将(2)(2)式代入，可得

S′=I+ΔI+O′2−1 \begin{equation} S'=I+\Delta I+\frac{O'}{2}-1 \end{equation}

由于网格的固有性质，拼接时多边形内部所包含格点总数的变化量ΔI\Delta I会与所拼接的三角形的边长有如下关系（设所拼接三角形的边的边长为xx）：

ΔI=x−1\Delta I=x-1

移项，得

x=ΔI+1 \begin{equation} x=\Delta I+1 \end{equation}

由于网格的固有性质，拼接后多边形的边所经过的格点总数符合下式：

O′=O+2−2xO'=O+2-2x

将(4)(4)式代入，可得

O′=O+2−2(ΔI+1)=O−2ΔI \begin{equation} O'=O+2-2(\Delta I+1)=O-2\Delta I \end{equation}

将(5)(5)式代入(3)(3)式，可得

S′=I+ΔI+O−2ΔI2−1S'=I+\Delta I+\frac{O-2\Delta I}{2}-1

化简，即可得出面积

S′=I+O2−1S'=I+\frac{O}{2}-1

故

S′=SS'=S

假设成立，皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立。

综上所述，切割线不经过或包括多边形内部的格点时，皮克定理成立。

切割线经过或包括多边形内部的格点

示例：切割后的多边形示例：切割后的多边形

示例：拼接后的多边形示例：拼接后的多边形

设切割下来的三角形中，包含了mm个格点，所拼接三角形的边的边长为xx，拼接后多边形内部所包含的格点总数及其变化量分别为I′I'、ΔI\Delta I，拼接后多边形的边所经过的格点总数为O′O'，拼接后的面积为S′S'，切割线所经过的格点数为tt，则有

I′=I−m+m−t+(x−1)=I+x−t−1I'=I-m+m-t+(x-1)=I+x-t-1

I′=I+ΔI \begin{equation} I'=I+\Delta I \end{equation}

可得

ΔI=I′−I=x−t−1\Delta I=I'-I=x-t-1

x=ΔI+t+1 \begin{equation} x=\Delta I+t+1 \end{equation}

假设皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立，则有

S′=I′+O′2−1S'=I'+\frac{O'}{2}-1

将(6)(6)式代入，可得

S′=I+ΔI+O′2−1 \begin{equation} S'=I+\Delta I+\frac{O'}{2}-1 \end{equation}

由于网格的固有性质，拼接后多边形的边所经过的格点总数符合下式：

O′=O+2(t+1)−2xO'=O+2(t+1)-2x

将(7)(7)式代入，可得

O′=O+2(t+1)−2(ΔI+t+1)=O−2ΔI \begin{equation} O'=O+2(t+1)-2(\Delta I+t+1)=O-2\Delta I \end{equation}

将(9)(9)式代入(8)(8)式，可得

S′=I+ΔI+O−2ΔI2−1S'=I+\Delta I+\frac{O-2\Delta I}{2}-1

化简，即可得出面积

S′=I+O2−1S'=I+\frac{O}{2}-1

故

S′=SS'=S

假设成立，皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立。

综上所述，切割线经过或包括多边形内部的格点时，皮克定理成立。

结论

我们证明了由长方形切割而来的所有多边形，其面积都符合皮克定理的公式；又因为这样切割而来的多边形囊括了网格中所有的多边形，因此网格中所有的多边形的面积都符合皮克定理：

S=I+O2−1S=I+\frac{O}{2}-1

结语

上面的证明过程可能较为简单，毕竟是我自己研究而得的结果，有的地方或许会不严谨，如果你有发现任何错误，欢迎在留言区指出。