NBlog - 证明简谐运动的周期公式

简谐运动的周期公式

我们知道，一个做简谐运动的振子，其周期符合公式

T = 2 π \frac{m}{k}

水平地面上放有一根刚度为 $k$ 的弹簧，其一端固定在竖直墙面上，另一端系有一个质量为 $m$ 的振子，此时振子位于其平衡位置。将振子拉至距离平衡位置 $A$ （振幅）处并松手，则振子开始做简谐运动。

那么，对于这个振子，由简谐运动的性质可得

x = A cos (ω t)

ω = \frac{2 π}{T}

对刚松手的时刻至振子第一次到达平衡位置时的过程分析，有

\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}

v = A \frac{k}{m}

对振子运动时的极短时刻内分析，有

k \overset{x}{ˉ} Δ t = m Δ v

对该方程从 $t = 0$ 至 $t = \frac{T}{4}$ 积分，可得

k \int_{0}^{\frac{T}{4}} x d t = m v

将 $(1)$ 式与 $(3)$ 式带入，得

k A \int_{0}^{\frac{T}{4}} cos (ω t) d t = A mk

k \int_{0}^{\frac{T}{4}} cos (ω t) d t = mk

将 $(2)$ 式代入，得

k \int_{0}^{\frac{T}{4}} cos (\frac{2 π}{T} t) d t = mk

(\frac{T}{2 π} sin (\frac{2 π}{T} t))_{0}^{\frac{T}{4}} = \frac{m}{k}

\frac{T}{2 π} - 0 = \frac{m}{k}

T = 2 π \frac{m}{k}