NBlog - 证明一些导数结论

$e^{x}$ 的导数

令

f (x) = e^{x}

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{e ^{x + Δ x} - e ^{x}}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{Δ x} - 1 )}{Δ x}

= e^{x} Δ x \to 0 lim \frac{e ^{Δ x} - 1}{Δ x}

此时，设 $t = e^{Δ x} - 1$ ，则 $Δ x = ln (t + 1)$

当 $Δ x \to 0$ 时， $t \to 0$

那么，原式可化为

e^{x} t \to 0 lim \frac{t}{ln ( t + 1 )}

= e^{x} t \to 0 lim \frac{1}{\frac{1}{t} ln ( t + 1 )}

= e^{x} t \to 0 lim \frac{1}{ln ( t + 1 ) ^{\frac{1}{t}}}

因为

e = t \to 0 lim (t + 1)^{\frac{1}{t}}

所以，原式可化为

e^{x} \frac{1}{ln e}

= e^{x}

故

f^{'} (x) = e^{x}

$ln x$ 的导数

令

f (x) = ln x

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln ( x + Δ x ) - ln x}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln \frac{x + Δ x}{x}}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + \frac{Δ x}{x} )}{Δ x}

此时，设 $t = \frac{Δ x}{x}$ ，则 $Δ x = x t$

当 $Δ x \to 0$ 时， $t \to 0$

那么，原式可化为

Δ x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + t )}{x t}

= \frac{1}{x} t \to 0 lim \frac{ln ( 1 + t )}{t}

= \frac{1}{x} t \to 0 lim ln (1 + t)^{\frac{1}{t}}

因为

e = t \to 0 lim (t + 1)^{\frac{1}{t}}

所以，原式可化为

\frac{1}{x} ln e

= \frac{1}{x}

故

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

$lo g_{a} x$ 的导数 ( $a > 0$ )

令

f (x) = lo g_{a} x, a \in (0, + \infty)

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{lo g _{a} ( x + Δ x ) - lo g _{a} x}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln ( x + Δ x ) - ln x}{Δ x ln a}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln \frac{x + Δ x}{x}}{Δ x ln a}

= Δ x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + \frac{Δ x}{x} )}{Δ x ln a}

与 $ln x$ 导数推导过程同理，可得

f^{'} (x) = \frac{1}{x ln a}

i

当 $a = e$ 时，可得 $ln x$ 的导数

\frac{1}{x}

ii

当 $a = 10$ 时，可得 $l g x$ 的导数

\frac{1}{x ln 10}

$sin x$ 的导数

令

f (x) = sin x

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{sin ( x + Δ x ) - sin x}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{sin x cos Δ x + cos x sin Δ x - sin x}{Δ x}

由于当 $Δ x \to 0$ 时， $cos Δ x \to 1$

故可将原式化为

Δ x \to 0 lim \frac{cos x sin Δ x}{Δ x}

又因为当 $Δ x \to 0$ 时，有

sin Δ x \approx Δ x

所以，原式可化为

Δ x \to 0 lim \frac{cos x Δ x}{Δ x}

= cos x

故

f^{'} (x) = cos x

$cos x$ 的导数

令

f (x) = cos x

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{cos ( x + Δ x ) - cos x}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{cos x cos Δ x - sin x sin Δ x - cos x}{Δ x}

由于当 $Δ x \to 0$ 时， $cos Δ x \to 1$

故可将原式化为

Δ x \to 0 lim \frac{- sin x sin Δ x}{Δ x}

又因为当 $Δ x \to 0$ 时，有

sin Δ x \approx Δ x

所以，原式可化为

Δ x \to 0 lim \frac{- sin x Δ x}{Δ x}

= - sin x

故

f^{'} (x) = - sin x

$tan x$ 的导数

令

f (x) = tan x

则有

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{tan ( x + Δ x ) - tan x}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{\frac{s i n ( x + Δ x )}{c o s ( x + Δ x )} - \frac{s i n x}{c o s x}}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{sin ( x + Δ x ) cos x - cos ( x + Δ x ) sin x}{Δ x cos ( x + Δ x ) cos x}

= \frac{1}{cos x} Δ x \to 0 lim \frac{sin ( x + Δ x - x )}{Δ x cos ( x + Δ x )}

= \frac{1}{cos x} Δ x \to 0 lim \frac{sin Δ x}{Δ x cos ( x + Δ x )}

因为当 $Δ x \to 0$ 时，有

sin Δ x \approx Δ x

所以，原式可化为

= \frac{1}{cos x} Δ x \to 0 lim \frac{1}{cos ( x + Δ x )}

= \frac{1}{cos ^{2} x}

故

f^{'} (x) = \frac{1}{cos ^{2} x}

两函数相乘求导公式

设

h (x) = f (x) g (x)

则有

h^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{h ( x + Δ x ) - h ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) - f ( x ) g ( x )}{Δ x}

= Δ x \to 0 lim (\frac{f ( x + Δ x ) - f ( x ) + f ( x )}{Δ x} g (x + Δ x) - \frac{g ( x )}{Δ x} f (x))

= Δ x \to 0 lim ((\frac{f ( x )}{Δ x} + f^{'} (x)) g (x + Δ x) - \frac{g ( x )}{Δ x} f (x))

= Δ x \to 0 lim (\frac{g ( x + Δ x )}{Δ x} f (x) + f^{'} (x) g (x + Δ x) - \frac{g ( x )}{Δ x} f (x))

= Δ x \to 0 lim (f (x) g^{'} (x) + f^{'} (x) g (x + Δ x))

= f (x) g^{'} (x) + f^{'} (x) g (x)

证明一些导数结论

ex的导数

lnx的导数

loga​x的导数 (a>0)

sinx的导数

cosx的导数

tanx的导数

两函数相乘求导公式

$e^{x}$ 的导数

$ln x$ 的导数

$lo g_{a} x$ 的导数 ( $a > 0$ )

$sin x$ 的导数

$cos x$ 的导数

$tan x$ 的导数